Question

如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，⊥，⊥，，为中点．

   (1) 求证：平面PDC平面PAD；

   (2) 求证：BE∥平面PAD；

  （3）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1) 证明略(2) 证明略（3）

【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，以及考查线面平行的判定定理，解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与几何体的结构特征，此题属于基础题，考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力．

（1）由题意可得：PA⊥CD，结合CD⊥AD与线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直．

（2）取PD的中点为F，连接EF，AF，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由题中条件可得EF=AB，并且EF∥AB，进而得到四边形ABEF为平行四边形，得到BE∥AF，再利用线面平行的判定定理得到线面平行．

（3）根据面面垂直得到线线垂直，得到两个向量的数量积等于0，求出两个字母之间的关系，设出平面的法向量，根据数量积等于0，做出法向量，进而求出面面角．

解：（I）略--------------（4分）

（II）略

（III）连，取的中点，连接，则平面，过作，

为垂足，连接，可证为二面角的平面角. -------（10分）

设，则可求得,

从而求得-----------（12分，其他方法比照给分）