Question

（2008•河西区三模）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x满足f（3-x）=f（5+x），且f（x-1）=f（x-5），当x∈[2，4]时，f（x）=2^x，则（　　）

A．f（2006）＞f（2007）

B．f（2007）＞f（2009）

C．f（2009）＞f（2008）

D．f（2008）＞f（2007）

Answer 1

分析：由f（x-1）=f（x-5），得到函数的周期，则f（2006）=f（2），f（2007）=f（3），f（2008）=f（4）再由[2，4]上f（x）=2^x，即可得到f（2006）＜f（2007）＜f（2008），又由f（3-x）=f（5+x），得到函数的对称轴，故f（2007）=f（2009），进而得到正确结论．

解答：解：由f（x-1）=f（x-5），则函数的周期为T=4，
故f（2006）=f（4×501+2）=f（2），
f（2007）=f（4×501+3）=f（3），
f（2008）=f（4×501+4）=f（4），
由于当x∈[2，4]时，f（x）=2^x，
则f（2）＜f（3）＜f（4）
即得到f（2006）＜f（2007）＜f（2008），
又由f（3-x）=f（5+x），
则函数的对称轴为x=

3+5

2

=4，
故f（2009）=f（4×501+5）=f（5）=f（3），
故f（2007）=f（2009）＜f（2008）
故答案为 D

点评：本题考查函数的有关性质，熟记：由f（a-x）=f（b+x），得到函数的对称轴为x=

a+b

2

；
由f（x+T）=f（x），得到函数的周期为T．是解决问题的关键．