Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）函数在上的最大值.

①求；

②若过点可作出曲线的三条切线，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②或且．

【解析】

（1）求，令便得到，或，所以讨论和2的关系，即判断和0的关系：分，，三种情况，判断每种情况下的的符号，从而判断的单调性；

（2）①对应（1）中的三种情况：，，，判断在每种情况下在，上的单调性，根据单调性求函数在，上的最大值；

②要作的三条切线，则图象应是曲线，所以，，求，设切点为，将切点代入切线方程，则这个关于的方程有三个不同的实数根，再利用导数研究三次方程根的情况，即可求得的取值范围．

（1），令得，，或；

若，即，

，或时，；时，；

在，上单调递增，在，上单调递减；

若，即，，

函数在上单调递增；

若，，，或时，；时，；

在，上单调递增，在单调递减；

（2）①由（1）知：

当时，在，单调递减，在，单调递增；

对于此时的的最大值比较，即可；

∵，

时，，∴；

∵时，，∴；

当时，在，上单调递增，∴；

当时，在，上单调递增，∴；

∴；

②根据题意，，，

所以设过点所作切线的切点为，，斜率为；

切线方程为，

∵点在切线上，所以，

将上式整理成：，

则关于的方程有三个不同的实数根，且；

令，

则应有三个不同的零点，，令，则，或，，中一个是极大值，一个是极小值；

时，是极小值，是极大值，；

解得；

令，，令，得，，或4；

在，上单调递减，在，上单调递增；

可求得，，时，，，且时，；

的解是，；

时，是极大值，是极小值，；

解得，；

∴的解是，且，，且；

综上得的取值范围是或且．