Question

【题目】已知数列、、，对于给定的正整数，记，.若对任意的正整数满足：，且是等差数列，则称数列为“”数列.

（1）若数列的前项和为，证明：为数列；

（2）若数列为数列，且，求数列的通项公式；

（3）若数列为数列，证明：是等差数列 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）； （3）见解析.

【解析】

（1）采用可进行求解，要验证是否成立

（2）（3）通过题干，将，进行联立求解，代换掉，，可求得数列的通项公式

（1）当时，，

当时，符合上式， 则，

，则

对任意的正整数满足，且是公差为4的等差数列，

为数列.

（2），

由数列为数列，则是等差数列，且

即，

则是常数列，，

验证：，对任意正整数都成立 ．

又由，，

两式相减，得：，

，

（3）由数列为数列可知：是等差数列，记公差为

，

则

又，，

数列为常数列，则

由，

是等差数列.