题目内容
(1)如果a,b＞0,且a≠b,求证:a3+b3＞a2b+ab2.(2)如果a,b＞0且a≠b,求证:a5+b5＞a3b2+a2b3.
证明：
(1)(a3+b3)(a2b+ab2)
=［(
)2+(
)2］［(
)2+(
)2］
≥(
·
·b+
·
·a)2
=(a2b+ab2)2,
“=”成立的条件是
·
·a=
·
·b,
即a=b时成立,但a≠b,故“＝”不成立.
∴(a3+b3)(a2b+ab2)＞(a2b+ab2)2.
∴a3+b3＞a2b+ab2.
(2)(a5+b5)(a+b)=［(
)2+(
)2］［(
)2+(
)2］
＞(
·
+
·
)2
=(a3+b3)2.
由(1)知a3+b3＞a2b+ab2,
∴(a5+b5)(a+b)＞(a2b+ab2)2
=a2b2(a+b)2.
∴a5+b5＞a2b2(a+b)=a3b2+a2b3.
∴原不等式成立.
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