Question

若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？

Answer 1

证明：设△ABC的重心与外接圆的圆心均为O（如图）
∵OA=OC，E为AC的中点，∴BE⊥AC；
同理，CD⊥AB，AF⊥BC
在Rt△ABE与Rt△ACD中，
∠A为公共角，BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），
所以△ABE≌△ACD，AB=AC，
同理可得AB=BC
由此可知△ABC为等边三角形．
分析：利用等腰三角形的中线与高重合，得到AF、BE、CD为三角形的高；利用全等三角形的判定定理得到两边相等，判断出三角形的形状．
点评：本题考查三角形的外心的性质、重心的性质、三角形全等的判定定理、据三角形的边角的关系判断出三角形的形状．