Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数在上的最值；

（2）若对，总有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用极值与最值之间的关系可求得函数在区间上的最大值和最小值；

（2）由变形得出，构造函数，可知函数在上为增函数，可得出对任意的恒成立，结合参变量分离法得出，构造函数，利用导数求得函数的最大值，进而可求得实数的取值范围.

（1），则，令，解得.

当时，；当时，.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.

又，，所以，.

因此，，；

（2）因为，，等价于，

令，

因为，总有成立，

所以，函数在上单调递增.

问题化为对恒成立，即对恒成立.

令，则.

由得，.

当时，，函数递增，当时，，函数递减.

所以，，.

因此，实数的取值范围是：.