Question

18．已知曲线C的方程为$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=4，经过点（-1，0）作斜率为k的直线l，l与曲线C交于A、B两点，l与直线x=-4交于点D，O是坐标原点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}$，求证：k²=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）是否存在实数k，使△AOB为锐角三角形？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出A、B的坐标，联立直线l和曲线C的方程得到∴x₁+x₂=$\frac{-{8k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$…①，x₁ x₂=$\frac{{4k}^{2}-12}{3+{4k}^{2}}$…②，2x₂-x₁=-4…③联合从而证出结论；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，从而得到结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$+$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$=4＞2，
∴曲线C是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，4为长轴的椭圆，
∴曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即3x²+4y²=12，
∵直线l过（-1，0），斜率为k，
∴l方程是：y=kx+k，
∵直线l与直线x=-4交于点D，∴D（-4，-3k），
设A（x₁，kx₁+k），B（x₂，kx₂+k），
由$\left\{\begin{array}{l}{{3x}^{2}+{4y}^{2}=12}\\{y=kx+k}\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-{8k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$…①，
x₁ x₂=$\frac{{4k}^{2}-12}{3+{4k}^{2}}$…②
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{OB}$得2x₂-x₁=-4…③
由①③焦点：x₁=$\frac{4}{3+{4k}^{2}}$，x₂=-$\frac{4+{8k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$，
把x₁，x₂ 代入②化简得：4k⁴-k²-5=0，
解得：k²=$\frac{5}{4}$或k²=-1舍，
∴k²=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）解：由（1）得：$\overrightarrow{OA}$=（x₁，kx₁+k），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，kx₂+k），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁ x₂+（kx₁+k）（kx₂+k）
=（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²
=$\frac{-{5k}^{2}-12}{3+{4k}^{2}}$＜0，
∴∠AOB＞$\frac{π}{2}$，
∴不存在实数k，使△AOB为锐角三角形．

点评 本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查韦达定理，向量问题，是一道中档题．