Question

（2012•浦东新区二模）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）图象向右平移

π

4

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=1的解．

Answer 1

分析：（1）把函数f（x）的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），求出x的范围，即为函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据平移规律“左加右减”，由f（x）的解析式得到向右平移2个单位后的解析式g（x），令g（x）=1，得到sin（2x-

π

4

）=0，根据正弦函数的图象与性质即可求出x的值，即为方程g（x）=1的解．

解答：解：（1）函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
则f（x）的单调递增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（2）由已知得：g（x）=

2

sin[2（x-

π

4

）+

π

4

]+1=

2

sin（2x-

π

4

），
由g（x）=1得：

2

sin（2x-

π

4

）=0，
∴2x-

π

4

=kπ（k∈Z），
则x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．