Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P=A₁C₁，连接AP交棱CC₁于点D．
（Ⅰ）求证：PB₁∥平面BDA₁；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：以A₁为原点，A₁B，A₁C，A₁A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，则我们易求出各个点的坐标，进而求出各线的方向向量及各面的法向量．
（I）要证明PB₁∥平面BDA₁，我们可以先求出直线PB₁的向量，及平面BDA₁的法向量，然后判断证明这两个向量互相垂直
（II）由图象可得二面角A-A₁D-B是一个锐二面角，我们求出平面AA₁D与平面A₁DB的法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值，得到结论．

解答：解：以A₁为原点，A₁B，A₁C，A₁A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，
则A₁（0，0，0），B₁（1，0，0），C₁（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）
（1）在△PAA₁中，C1D=

1

2

AA1，则D（0，1，

1

2

）
∴

A1B

=（1，0，1），

A1D

=（0，1，

1

2

），

B1P

=（-1，2，0）
设平面BDA₁的一个法向量为

a

=（a，b，c）
则

a • A1B =a+c=0 a • A1D =b+ 1 2 c=0

令c=-1，则

a

=（1，

1

2

，-1）
∵

a

•

B1P

=1×（-1）+

1

2

×2+（-1）×0=0
∴PB₁∥平面BDA₁
（II）由（I）知平面BDA₁的一个法向量

a

=（1，

1

2

，-1）
又

b

=（1，0，0）为平面AA₁D的一个法向量
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

1

1× 3 2

=

2

3

故二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值为

2

3

点评：利用向量法求空间夹角问题，包括以下几种情况：
空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；