Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-．
（Ⅰ）设c=，b_n=，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式a_n＜a_n+1＜3成立的c的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）令c=代入到a_n+1=c-中整理并令b_n=进行替换，得到关系式b_n+1=4b_n+2，进而可得到{}是首项为-，公比为4的等比数列，先得到{}的通项公式，即可得到数列{b_n}的通项公式．
（2）先求出n=1，2时的c的范围，然后用数学归纳法分3步进行证明当c＞2时a_n＜a_n+1，然后当c＞2时，令α=，根据由可发现c＞时不能满足条件，进而可确定c的范围．
解答：解：（1），
，即b_n+1=4b_n+2
，a₁=1，故
所以{}是首项为-，公比为4的等比数列，
，
（Ⅱ）a₁=1，a₂=c-1，由a₂＞a₁得c＞2．
用数学归纳法证明：当c＞2时a_n＜a_n+1．
（ⅰ）当n=1时，a₂=c-＞a₁，命题成立；
（ii）设当n=k时，a_k＜a_k+1，
则当n=k+1时，
故由（i）（ii）知当c＞2时，a_n＜a_n+1
当c＞2时，令α=，由
当2＜c≤时，a_n＜α≤3
当c＞时，α＞3且1≤a_n＜α
于是

当n＜
因此c＞不符合要求．
所以c的取值范围是（2，]．
点评：本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．