Question

设f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，且它在区间（-∞，0）上单调增．
（1）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若mn＜0且m+n＜0，试判断f（m）+f（n）的符号；
（3）若f（1）=0解关于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0．

Answer 1

解：（1）f（x）在（0，+∞）上也是增函数，证明如下：
设b＞a＞0，则-b＜-a＜0，∵f（x）在区间（-∞，0）上单调增，
∴f（-b）＜f（-a），又 f（x）是奇函数，∴-f（b）＜-f（a），
即 f（b）＞f（a），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵mn＜0且m+n＜0，不妨设m＜n，则 m＜0，n＞0，|m|＞|n|，
∴m＜-n＜0，再由f（x）在区间（-∞，0）上单调增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），
∴f（m）+f（n）＜0．
（3）∵f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，且它在区间（-∞，0）上单调递增，
故f（x）在（0，+∞）上也单调递增．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0，由关于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0 可得，
log_a（1-x²）+1＞1，或-1＜log_a（1-x²）+1＜0．
∴log_a（1-x²）＞0 ①，或-2＜log_a（1-x²）＜-1 ②．
当a＞1时，
由①可得1-x²＞1，不等式无解．
由②可得 a^-2＜1-x² ＜a^-1，即 1-＜x²＜1-，
解得 ＜x＜，或 ＜x＜，
解集为（ ， ）∪（， ），
当1＞a＞0时，
由①得 0＜1-x²＜1，1＞x²＞0，-1＜x＜0 或 0＜x＜1，故解集为（-1，0）∪（0，1）．
由②得 ＜1-x² ＜，1-＞x²＞1-，不等式无解．
综上，关于x的不等式f[log_a（1-x²）+1]＞0的解集是：
当a＞1时，解集是 （ ， ）∪（， ）；
当1＞a＞0时，解集是（-1，0）∪（0，1）．
分析：（1）在（0，+∞）上任取2个数b和a，b＞a＞0，则-b＜-a＜0，由f（x）在区间（-∞，0）上单调增及f（x）是
奇函数推出f（b）＞f（a）．
（2）不妨设m＜n，则由题意知m＜-n＜0，再由f（x）在区间（-∞，0）上单调增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），
移项可证的结论．
（3）利用函数的单调性，把不等式转化为log_a（1-x²）＞0=log_a1，分a＞1和1＞a＞0两种情况，利用函数的单调性
解不等式．
点评：本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，以及利用函数的单调性解对数型不等式，体现了等价转化的数学思想．