Question

【题目】如图，已知四棱锥 中， .

（1）证明：顶点在底面的射影在的平分线上；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）余弦值为.

【解析】试题分析：（1）根据题意作出底面，分别作，垂直分别为，连接，证明，进而根据角平分线的定义得到结论；（2）建立坐标系，计算两个面的二面角，再由公式得到两个法向量的夹角。

解析：

（1）设点为点在底面的射影，连接，则底面，

分别作，垂直分别为，连接，

因为底面, 底面，所以，

又 ，所以平面平面，

所以，

同理，即，

又，所以，

所以，又，所以，

所以，所以为的平分线.

（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以，因为为的平分线，

所以，所以，

则，

所以

设平面的一个法向量为，

则 ，可取，

设平面的一个法向量为，

则由，可取，

所以 ，

所以二面角的余弦值为.