题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
+
=1(a>b>0)的离心率e=
,A1,A2分别是椭圆E的左、右两个顶点,圆A2的半径为a,过点A1作圆A2的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆E于点Q.
(1) 求直线OP的方程;
(2) 求
的值;
(3) 设a为常数,过点O作两条互相垂直的直线,分别交椭圆E于点B,C,分别交圆A2于点M,N,记OBC和OMN的面积分别为S1,S2,求S1·S2的最大值.
(1) 连接A2P,则A2P⊥A1P,且A2P=a.
又A1A2=2a,所以∠A1A2P=60°.
所以∠POA2=60°,所以直线OP的方程为y=
x.
(2) 由(1)知,直线A2P的方程为y=-(x-a),A1P的方程为y=
(x+a),
联立解得xP=
.
因为e=,即
=,所以c2=
a2,b2=
a2,故椭圆E的方程为+
=1.
由
解得xQ=-
,
所以=
=.
(3) 不妨设OM的方程为y=kx(k>0),
联立方程组
解得B
,
所以OB=a
.
用-
代替上面的k,得OC=a
.
同理可得,OM=
,ON=
.
所以S1·S2=·OB·OC·OM·ON=a4·
.
因为=
≤
,
当且仅当k=1时等号成立,所以S1·S2的最大值为
.
练习册系列答案
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(t为参数)过椭圆C:
(φ为参数)的右顶点,求常数a的值.
作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是 . 
}，N＝{x|x≤－1}，P＝{x|x≥