题目内容

已知二次函数f（x）=ax2+bx+4，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1}，求f（x）；
（2）若1∈A，且1≤a≤2，设f（x）在区间[
1
2
，2]上的最大值、最小值分别为M、m，记g（a）=M-m，求g（a）的最小值．
（1）∵A={1}，∴ax2+（b-1）x+4=0有两等根为1．…（2分）
∴
a+(b-1)+4=0
△=(b-1)2-16a=0
，解得
a=4
b=-7
，
∴f（x）=4x2-7x+4．…（4分）
（2）∵1∈A，∴a+（b-1）+4=0，∴b=-3-a．…（5分）
∴f（x）=ax2-（a+3）x+4=a(x-
a+3
2a
)2-
a
4
-
9
4a
+
5
2
．
∵1≤a≤2，∴对称轴为x=
a+3
2a
∈[
5
4
，2]．
∵x∈[
1
2
，2]，∴M=f(
1
2
)=-
a
4
+
5
2
，m=-
a
4
-
9
4a
+
5
2
．…（8分）
∴g(a)=M-m=
9
4a
，由g（a）在[1，2]单调递减
可得当a=2时，函数取最小值g(a)min=g(2)=
9
8
．…（10分）
练习册系列答案
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已知二次函数f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
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f(x)x-1
．
（1）求a的值；
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（2）已知二次函数f（x）的图象的顶点是（-1，2），且经过原点，求f（x）的解析式．

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