Question

已知函数图像上点处的切线与直线平行（其中），     

(I）求函数的解析式；

(II）求函数上的最小值；

(III）对一切恒成立，求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（I） （II） .

（III）实数的取值范围为.

【解析】

试题分析：（I）由点处的切线方程与直线平行，得该切线斜率为2，即

又所以 4分

（II）由（I）知，显然当所以函数上单调递减.当时，所以函数上单调递增，

①

②时，函数上单调递增，

因此        7分

所以  10分

（III）对一切恒成立，又

即设

则由

单调递增，

单调递减，

单调递增，

所以

因为对一切恒成立，

故实数的取值范围为  14分 

考点：导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性及极（最）值，不等式恒成立问题。

点评：难题，本题（1）较为简单，主要利用“曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值”。本题（2）主要利用“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”，研究函数的单调区间。（3）作为不等式恒成立问题，通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），使问题得到解决。