Question

【题目】已知，，其中，函数与关于直线对称．

（1）若函数在区间上递增，求a的取值范围；

（2）证明：；

（3）设，其中恒成立，求满足条件的最小正整数b的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) 2.

【解析】

（1）求出的导函数，由函数在区间上递增，则在上恒成立.

(2)由（1）可知当时，函数在区间上递增，则可得，然后可证明.

(3)由恒成立，即，求出的导函数，然后再对求导，判断符号，得出函数的单调性，求出最小值，列出不等式然后求解.

(1) ，则.

由函数在区间上递增，
所以在区间上恒成立.

即在区间上恒成立.

设，则在区间上恒成立.

所以在单调递.增，则，

所以.

(2) 由（1）可知当时，函数在区间上递增，

所以，即，

所以.

所以.

（3）函数与关于直线对称,则.

所以，即.

恒成立即,

又，设，则

由，所以，即在上单调递增.

所以在上单调递增.且，

则一定存在，使得.即，

所以

当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增.

则，

所以

由，，得.

设 ，则，

设，则在上恒成立.

所以在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，.

又为整数，所以.

所以最小正整数b的值为2.