Question

在棱长为1的正方体AC₁中，E为AB的中点，点P为侧面BB₁C₁C内一动点（含边界），若动点P始终满足PE⊥BD₁，则动点P的轨迹的长度为

2

2

．

Answer 1

分析：如图，取BC，BB₁的中点F，G．先找到一个平面总是保持与BD₁垂直，即BD₁⊥面EFG，又点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP与BD₁垂直，得到点P的轨迹为面EFG与面BCC₁B₁的交线段，结合平面的基本性质知这两个平面的交线是FG．

解答：解：先找到一个平面总是保持与BD₁垂直，
取BC，BB₁的中点F，G．连接EF，FG，EG，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
有BD₁⊥面EFG，
又点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，
根据平面的基本性质得：
点P的轨迹为面EFG与面BCC₁B₁的交线段FG．
在直角三角形BFG中，BG=BF=

1

2

，∴FG=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．