Question

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（2）当时，，

（ⅰ）若，

由，即，得或；

由，即，得

所以函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为．  

（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增．

设，定义域为，

.

依题意，至少存在一个，使得成立，

等价于当 时，.  

（1）当时，

在恒成立，所以在单调递减，只要，

则不满足题意.  

（2）当时，令得.

（ⅰ）当，即时，

在上，所以在上单调递增，

所以，

由得，，

所以.   

（ⅱ）当，即时，

在上，所以在单调递减，

所以，