Question

（本小题共12分）

若对于定义在R上的连续函数，存在常数（），使得对任意的实数成立，则称是回旋函数，且阶数为.

（Ⅰ）试判断函数是否是一个回旋函数；

（Ⅱ）已知是回旋函数，求实数的值；

（Ⅲ）若对任意一个阶数为的回旋函数，方程均有实数根，求的取值范围.

Answer 1

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）不是回旋函数.                 …………………………………1分

方法一：假设是阶回旋函数，则

，即对任意实数成立.

所以 . 而此式无解.

所以不是回旋函数.                      …………………………………3分

方法二：假设是阶回旋函数，则

，即对任意实数成立.

而当时，对任意的实数，，

所以.

所以不是回旋函数.                      …………………………………3分

（Ⅱ）设是阶回旋函数，则，

若，上式对任意实数均成立；

若，得对任意实数成立.

所以对任意实数成立.

则且.

所以.

所以.

若，则

解得.

若，则

解得.

综上所述，.                        …………………………………7分

（Ⅲ）当时，阶回旋函数应满足恒成立，所以有实数根；

当时，令，得.所以.

若，显然有实数根；

若，则.

又因为是连续函数，所以在上必有实数根.

当时，取，

考察，显然是定义在R上的连续函数，且

.

所以是阶回旋函数.

因为对任意实数，，所以无实数根.

综上所述，满足条件的的取值范围为.      …………………………………12分

注：对于其它正确解法，相应给分.