Question

抛物线x²=2y上距离点A（0，a）（a>0）的最近的点恰好是顶点,则a的取值范围是_____.

Answer 1

(0,1

解析:

设抛物线x²=2y上的任一点P（x₀，），x₀∈R.

∴|PA|²=x₀²+（a-）²=x₀²+a²-ax₀²+.

设x₀²=t，则t≥0.

∴|PA|²=+（1-a）t+a²

=［t²+4(1-a)t］+a²

=［t+2（1-a）］²+2a-1

=［t-2（a-1）］²+2a-1.

∵t≥0，a-1＞-1,

∴当-1＜a-1≤0,

即0＜a≤1时,

则t=0,即x₀=0时|PA|_min==a.

当a-1＞0,即a＞1时,

则t=2(a-1)≠0.

|PA|_min=.

综上所得，当a∈（0，1时，抛物线上距离A的最近点恰好是顶点，故填（0，1.