Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分别在BB₁、A₁D上，且B₁E⊥A₁D，四棱锥C-ABDA₁与直三棱柱的体积之比为3：5，
（1）求异面直线DE与B₁C₁的距离；
（2）若BC=，求二面角A₁-DC₁-B₁的平面角的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）因， 故， 从而， 又， 故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线， 设BD的长度为x，则四棱椎的体积V1为 ， 而直三棱柱的体积V2为 ， 由已知条件， 故， 从而，在直角三角形中， ， 又因， 故。
（Ⅱ）如右图，过B1作，垂足为F，连接A1F， 因， 故， 由三垂线定理知， 故为所求二面角的平面角， 在直角中， ， 又因， 故， 所以。