Question

已知的边边所在直线的方程为

点B关于点的对称点为C, 点在AC边所在直线上且满足．

（I）求AC边所在直线的方程；

（II）求的外接圆的方程；

（III）若点N的坐标为其中n为正整数。试讨论在的外接圆上是否存在点P，使得成立？说明理由。

 

Answer 1

．解：（I）

,  ………………..1分

又边所在直线的方程为，，所以直线AC的斜率为．……2分

又因为点在直线AC上，

所以AC边所在直线的方程为．即．  …………3分

（II）AC与AB的交点为A，所以由解得点的坐标为，…5分

    …………6分

又r=．                       …………7分

从外接圆的方程为:  ．                   …………8分

（III）若在的外接圆圆M上存在点P，使得成立，则P为线段NT的垂直平分线L与圆M的公共点。所以当L与圆M相离时，不存在满足条件的点P；当L与圆M相交或相切时则存在满足条件的点P。                              

由N,知NT的斜率为，线段NT的中点为 

线段NT的垂直平分线L为

                                                               ………10分

圆M的圆心M到直线L的距离为

d=                  …………11分

i)当n=1时，d=,此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P

ii)当n=2时 d=，此时直线L与圆M相交，存在满足条件的点P

iii)当时，

此时直线L与圆M相离，不存在满足条件的点P。             …………14分

(说明：(III) 求出NT的垂直平分线，与圆M方程联立方程组,消元得二次方程后提到用判别式讨论的即可得3分; 用图形说明当n增大时M到L的距离d也增大，当n=3时有d>r，所以n>3时有d>r，只扣1分)