Question

5．已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f（2x²+1）+f（λ-x）只有一个零点，则实数λ的值是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． -$\frac{7}{8}$
• D． -$\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 由题意利用函数的单调性，函数的奇偶性可得只有一个x的值，使f（2x²+1）=f（x-λ），即只有一个x的值，使2x²+1=x-λ，由判别式等于零，求得λ的值．

解答 解：∵函数y=f（x²）+f（k-x）只有一个零点，∴只有一个x的值，使f（2x²+1）+f（λ-x）=0．
∵函数f（x）是奇函数，∴只有一个x的值，使f（2x²+1）=f（x-λ），
又函数f（x）是R上的单调函数，∴只有一个x的值，使2x²+1=x-λ，
即方程2x²-x+λ+1=0有且只有一个解，
∴△=1-8（λ+1）=0，解得λ=-$\frac{7}{8}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数的零点，函数的单调性，函数的奇偶性，只要基础牢固，问题容易解决，属于中档题．