Question

已知f(x)=x+

b

x

-3， x∈[1，2]．
（1）b=2时，求f（x）的值域；
（2）若b为正实数，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对勾函数的单调性看求出该函数的最小值和最大值，从而求出值域；
（2）讨论

t

与区间[1，2]的位置关系，然后根据函数的单调性求出f（x）的最大值为M，最小值为m，然后根据M-m≥4，求b的取值范围即可．

解答：解：（1）当b=2时，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]，
因为f（x）在[1，

2

]上单调递减，在[

2

，2]上单调递增，…（2分）
所以f（x）的最小值为f(

2

)=2

2

-3，…（4分）
又因为f（1）=f（2）=0…（5分）
所以f（x）的值域为[2

2

-3，0]…（6分）
（2）①当0＜b＜2时，f（x）在[1，2]上单调递增，
则m=b-2，M=

b

2

-1，此时M-m=-

b

2

+1≥4，得b≤-6与0＜b＜2矛盾（舍去）…（8分）
②当2≤b＜4时，f（x）在[1，

b

]上单调递减，在[

b

，2]上单调递增，
所以M=max{f(1)，f(2)}=b-2，m=f(

b

)=2

b

-3，
则M-m=b-2

b

+1≥4，得(

b

-1)2≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾（舍去）…（11分）
③当b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，
则M=b-2，m=

b

2

-1，此时M-m=

b

2

-1≥4，得b≥10…（13分）
综上所述，b的取值范围是[10，+∞）…（14分）

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数的单调性和研究函数值域，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．