题目内容
已知f(x)=x+| b | x |
（1）b=2时，求f（x）的值域；
（2）b≥2时，f（x）＞0恒成立，求b的取值范围．
分析：（1）当b=2时，f(x)=x+
-3，x∈[1，2]，利用双钩函数的单调性即可求得f（x）的值域；
（2））b≥2时，f（x）＞0恒成立，即求函数f（x）的最小值＞0即可，利用基本不等式求最值，一定注意等号成立的条件，因此对b进行讨论，当2≤b＜4时，f（x）最小值为f(
)=2
-3，b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）最小值为f(2)=
-1，从而求得b的取值范围．
| 2 |
| x |
（2））b≥2时，f（x）＞0恒成立，即求函数f（x）的最小值＞0即可，利用基本不等式求最值，一定注意等号成立的条件，因此对b进行讨论，当2≤b＜4时，f（x）最小值为f(
| b |
| b |
| b |
| 2 |
解答：解：（1）当b=2时，f(x)=x+
-3，x∈[1，2]．
因为f（x）在[1，
]上单调递减，在[
，2]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f(
)=2
-3．
又因为f（1）=f（2）=0，
所以f（x）的值域为[2
-3，0]．
（2）（ⅰ）当2≤b＜4时，因为f（x）在[1，
]上单调递减，在[
，2]上单调递增，
f（x）最小值为f(
)=2
-3，f（x）＞0，即2
-3＞0．
得4＞b＞
．
（ⅱ）b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）最小值为f(2)=
-1，f（x）＞0，
即
-1＞0，得b＞2，因此b≥4．
综合（ⅰ）（ⅱ）可知b＞
．
| 2 |
| x |
因为f（x）在[1，
| 2 |
| 2 |
所以f（x）的最小值为f(
| 2 |
| 2 |
又因为f（1）=f（2）=0，
所以f（x）的值域为[2
| 2 |
（2）（ⅰ）当2≤b＜4时，因为f（x）在[1，
| b |
| b |
f（x）最小值为f(
| b |
| b |
| b |
得4＞b＞
| 9 |
| 4 |
（ⅱ）b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）最小值为f(2)=
| b |
| 2 |
即
| b |
| 2 |
综合（ⅰ）（ⅱ）可知b＞
| 9 |
| 4 |
点评：此题是个中档题．考查利用基本不等式求函数的最值问题，注意正定等，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目