Question

已知函数f（x）=x²-alnx，x∈（1，2），
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（1，2）为增函数，g(x)=x-a

x

在（0，1）上为减函数．
求证：方程f（x）=g（x）+2在（0，+∞）内有唯一解；
（3）当b＞-1时，若f(x)≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1）内恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，分a≤2和a≥8以及2＜a＜8三种情况，分别令导函数大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递增区间；令导函数小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递减区间；
（2）由（1）不难给出方程f（x）=g（x）+2，然后构造函数，利用函数的单调性证明方程解的唯一性；
（3）f（x） ≥2bx-

1

x2

在（0，1]上恒成立 ⇒2b≤x-

2lnx

x

+

1

x3

在（0，1]上恒成立．由此能导出b的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=2x-

a

x

=

2(x2- a 2 )

x

，x∈(1，2)
①当2＜a＜8时，当x∈(1，

a 2 )

时，f'（x）＜0，∴f（x）在(1，

a 2 )

单调递减；
当x∈(

a 2

，2)时，f'（x）＞0，∴f（x）在(

a 2

，2)单调递增；
②当a≤2时，f'（x）≥0，∴f（x）在（1，2）单调递增；
③当a≥8时，f'（x）≤0，∴f（x）在（1，2）单调递减；
（2）f′(x)=2x-

a

x

，依题意f'（x）≥0，x∈（1，2]，即a≤2x²，x∈（1，2]．
∵上式恒成立，∴a≤2．①
又 g′(x)=1-

a

2 x

，依题意g'（x）≤0，x∈（0，1），即 a＞2

x

，x∈（0，1）．
∵上式恒成立，∴a≥2．②
由①②得a=2
∴方程f（x）=g（x）+2，即x2-2lnx-x+2

x

-2=0．
设 h(x)=x2-2lnx-x+2

x

-2，
则h′(x)=2x-

2

x

-1+

1

x

令h'（x）＞0，并由x＞0，得 (

x

-1)(2x

x

+2x+

x

+2)＞0，解知x＞1
令h'（x）＜0，由x＞0，解得0＜x＜1
列表分析：
知h（x）在x=1处有一个最小值0
当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∝）上只有一个解．
即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）f（x） ≥2bx-

1

x2

在（0，1]上恒成立，⇒2b≤x-

2lnx

x

+

1

x3

在（0，1]上恒成立．
设 H(x)=x-

2lnx

x

+

1

x3

，则 H′(x)=

x2(x2-2+2lnx) -3

x4

，
∵0＜x≤1⇒x²-2＜0，2lnx＜0，
∴H′（x）＜0，H（x）d （0，1]单调递减，
∴-1＜b≤1，又∵b＞-1，∴-1＜b≤1．

点评：利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）仅是f（x）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件应是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f（x）在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′（x₀）=0，甚至可以在无穷多个点处f′（x₀）=0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′（x）不恒为0，则由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的参数的取值范围确定，属难题．