Question

已知数列{a_n}中，，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，证明：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值，并给出证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，可得2a_n+1-a_n=n，利用b_n=a_n+1-a_n-1，即可证得{b_n}为等比数列；
（2）a_n+1-a_n=1+b_n=，叠加可得数列{a_n}的通项公式；
（3）存在λ=2，使数列是等差数列．利用S_n=+3[1-]，T_n=，求得前三项，即可求得结论．
解答：（1）证明：∵点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，∴2a_n+1-a_n=n
∵b_n=a_n+1-a_n-1，∴2b_n+1=a_n+1-a_n-1=b_n，
∵，2a_n+1-a_n=n
∴a₂=，
∴b₁=a₂-a₁-1=-≠0
∴{b_n}为等比数列；
（2）解：a_n+1-a_n=1+b_n=
叠加可得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁=n-2+3×
（3）解：存在λ=2，使数列是等差数列．
S_n=+3[1-]，T_n=
∴=，，
数列是等差数列
∴2×=+，∴λ=2
当λ=2时，，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的定义，考查叠加法的运用，考查是否存在性问题的探究，综合性强．