题目内容
已知向量a=(2cosx，cos2x)，b=(sinx，| 3 |
（Ⅰ）将函数y=2sinx的图象做怎样的变换可以得到函数f（x）的图象？
（Ⅱ）求函数f（x）区间[0，
| π |
| 2 |
（Ⅲ）若f(x0)=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 2 |
分析：（1）按照向量数量积的坐标表示，求出f（x）=2sin（2x+
），再根据图象变化规律得到变换的方式．
（2）将2x+
看作整体，求出范围，再利用正弦函数单调性求最值．
（3）由已知sin（2x0+
)=
=
，将2x0转化成（2x0+
-
） 再利用两角和与差的三角函数公式求解．
| π |
| 3 |
（2）将2x+
| π |
| 3 |
（3）由已知sin（2x0+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ） f（x）=2sinxcosx+
cos2x=sin2x+
cos2x=2sin（2x+
）
将函数y=2sinx的图象向左平移
个单位，再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的
，可得到函数f（x）=2sin（2x+
）的图象
（或将函数y=2sinx的图象上各点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
，再把所得函数图象向左平移
个单位，可得到函数f（x）=2sin（2x+
）的图象）
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+
），x∈[0，
]∴2x+
∈[
，
]
所以函数f（x）在区间[0，
]上单调递增，在区间[
，
]上单调递减，
当2x+
=
，即x=
时，函数f（x）有最大值2，
当2x+
=
，即x=
时，函数f（x）有最小值-
，
（Ⅲ） f（x0）=
，x0∈[0，
]，即sin（2x0+
)=
=
∵2x0+
∈[
，
]，又sin（2x0+
)=
＜sin
=
=
＜sin
∴2x0+
∈(
，π），∴cos（2x0+
)=-
=-
，
∴cos2x0=cos（2x0+
-
）=cos（2x0+
)cos
+sin(2x0+
)sin
cos
+sin（2x0+
）sin
=-
×
+
×
=
．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
将函数y=2sinx的图象向左平移
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（或将函数y=2sinx的图象上各点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
所以函数f（x）在区间[0，
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
当2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
当2x+
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3 |
（Ⅲ） f（x0）=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∵2x0+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
∴2x0+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴cos2x0=cos（2x0+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 10 |
点评：本题考查向量的数量积运算，图象变换、正弦函数单调性、最值、两角和与差的三角函数．考查转化的思想、整体思想、计算能力．
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