Question

已知函数，其中常数．
（1）求的单调区间；
（2）如果函数在公共定义域D上，满足，那么就称 为与的“和谐函数”．设，求证：当时，在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个．

Answer 1

（1）,的单调递增区间是和，单调递减区间是    
,单调递增区间是  ,,单调递增区间是和，单调递减区间是  
（2）作差构造新函数证明.

解析试题分析：（1） ，常数）
令，则，                 
①当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是           
②当时，，故的单调递增区间是         
③当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是        
（2）令，

令，则，           
因为，所以，且
从而在区间上，，即在上单调递减       
所以               
又，所以，即       
设（，则
所以在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个   
考点：类比推理；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
点评：本题主要以新定义为载体，综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解，考查了利用已学知识解决新问题的能力，考查了推理运算的能力，本题综合性较强．