Question

定义在R上的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2，其中a＞0且a≠1，若g(2012)=

a

2

，则f（-1）=

-

15

4

．

Answer 1

分析：由已知中定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2根，据函数奇偶性的性质，得到关于f（x），g（x）的另一个方程f（-x）+g（-x）=a^-x-a^x+2，并由此求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（2012）=

1

2

a求出a值后，即可得到f（-1）的值．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∵f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2 ①
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=a^-x-a^x+2 ②
①②联立解得f（x）=a^x-a^-x，g（x）=2
由已知g（2012）=

1

2

a=2
∴a=4，f（x）=4^x-4^-x
∴f（-1）=

1

4

-4=-

15

4

故答案为：-

15

4

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法--方程组法，函数奇偶性的性质，其中利用奇偶性的性质，求出f（x），g（x）的解析式，再根据g（2012）=

1

2

a求出a值，是解答本题的关键．