Question

若对一切实数x，二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的值恒为非负实数，则

b+c

a

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先有条件找到a，b，c须满足的条件，把

b+c

a

转化为

b2

4a2

+

b

a

，再利用二次函数的最值可以求

b+c

a

的最小值

解答：解：二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的值恒为非负实数，
即为所有函数值大于等于0，故须

a＞0 △≤0

?

a＞0 b2-4ac≤0

?b²≤4ac?c≥

b2

4a

?b+c≥

b2

4a

+ b?

b+c

a

≥

b2

4a2

+

b

a

，
设G=

b2

4a2

+

b

a

=

1

4

（

b

a

+2）²-1≥-1，即

b+c

a

的最小值为-1
故答案为-1．

点评：二次函数中的恒成立问题，一般分为两类：一是大于0恒成立，须开口向上且判别式小于0；二是小于0恒成立，须开口向下且判别式小于0