Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，C为椭圆上位于第一象限内的一点．

（1）若点C的坐标为（2， ），求a，b的值；
（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且 = ，求直线AB的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知：椭圆的离心率e= = = ，则 = ，①

由点C在椭圆上，将（2， ）代入椭圆方程， ，②

解得：a2=9，b2=5，

∴a=3，b= ，

（2）方法一：由（1）可知： = ，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，

设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），

，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，

∴y2= ，由y2＞0，则y2= ，

由 = ，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，

则 ，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，

由y=0，或y1= ，

由 = ，则（x1+a，y1）=（ x2， y2），

则y2=2y1，

则 =2× ，（m＞0），

解得：m= ，

则直线AB的斜率 = ；

方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），

B（x1，y1），C（x2，y2），

由 = ，则（x1+a，y1）=（ x2， y2），则y2=2y1，

由B，C在椭圆上，

∴ ，解得： ，

则直线直线AB的斜率k= = ．

直线AB的斜率 ．

【解析】（1）根据离心率表示出，根据点C在椭圆上，代入即可得到a，b的值，（2）方法一：根据（1）得到椭圆方程，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），联立方程利用韦达定理可解出m的值，方法二：根据（1）得到椭圆方程，则A（﹣a，0），

B（x1，y1），C（x2，y2），由向量关系和B、C在椭圆上，解出x2，y2，可得直线AB的斜率.