Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且，AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：建立空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、M，的坐标
（Ⅰ）通过证明AP⊥DC．利用AD⊥DC，证明DC⊥面PAD．然后证明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出与公式yg6d向量，即可利用cos=，求AC与PB的夹角的余弦值；
（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，求出．说明∠ANM为所求二面角的平面角．利用cos==，即可求面AMC与面BMC夹角的余弦值．
解答：解：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为．
（Ⅰ）证明：因，，
所以，所以AP⊥DC．
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）解：因，
故，，，
所以cos==．
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，
=（1-x，1-y，y-z），=（1，0，-），
∴x=1-λ，y=1，z=，
要使AN⊥MC，只需，即x-z=0，解得．
可知当时，N点的坐标（），能使，
此时，有．
由，得AN⊥MC，BN⊥MC，
所以∠ANM为所求二面角的平面角．
∵，，
∴cos==
所以所求面AMC与面BMC夹角的余弦值为．
点评：本题考查平面与平面垂直，直线与直线所成的角，平面与平面的二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．