Question

【题目】已知函数， ， ，

（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点的坐标；

（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；

（3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．（记）

Answer 1

【答案】(1) 切线恒过定点．(2) 的范围是 (3) 在区间上，满足恒成立函数有无穷多个

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为，故过定点；（2）根据的取值的不同情况分类讨论处理，最后得的范围是；（3）见解析。

试题解析：

（1）因为，所以在点处的切线的斜率为，

所以在点处的切线方程为，

整理得，所以切线恒过定点．

（2）令 ，对恒成立，

因为

令，得极值点， ，

①当时，有，即时，在上有，

此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；

②当时，有，同理可知， 在区间上，有，也不合题意；

③当时，有，此时在区间上恒有，

从而在区间上是减函数；

要使在此区间上恒成立，只须满足，

所以．

综上可知的范围是．

（利用参数分离得正确答案扣2分）

（3）当时， ，

记， ．

因为，

令，得

所以在为减函数，在上为增函数，

所以当时，

设，则，

所以在区间上，满足恒成立函数有无穷多个