Question

【题目】函数， （）．

（Ⅰ）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；

（Ⅱ）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，得函数单调递减，则零点至多一个；再根据零点存在定理说明至少一个零点，两者结合得结论，最后根据函数单调性求最值（2）先变量分离得，再利用导数研究函数单调性，结合图像可得有且只有两个整数的条件，即为实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）证明：由题知，

于是，

令，则（），

∴在上单调递减．

又， ，

所以存在，使得，

综上存在唯一零点．

当， ，于是， 在单调递增；

当， ，于是， 在单调递减．

故，

又， ， ，

故．

（Ⅱ）

令，则，

令，则在上单调递增．

又， ，

∴存在，使得．

∴当， ，即， 在单调递减；

当， ，即 ， 在单调递增.

∵， ， ，

且当时， ，

又， ， ，

故要使不等式式解集中有且只有两个整数， 的取值范围应为： ．