Question

已知数列{a_n}中，，且a_n+1=（t+1）a_n-ta_n-1（n≥2）．
（1）若t≠1，求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）若，试比较与的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）当t≠1时，a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2），故，由此能够证明{a_n+1-a_n}是首项为t²-t，公比为t的等比数列．
（2）当t≠1时，，即，故，，…，，将上列各等式相加得，由此能够得到．
（3）由，得，由，和，知2ⁿ＞tⁿ，2t＞1，由此入手能够比较与的大小．
解答：解：（1）由已知得，当t≠1时，
a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2）…（2分）
∴，
又∵
∴{a_n+1-a_n}是首项为t²-t，公比为t的等比数列…（4分）
（2）由（1）得，当t≠1时，，
即（5分）
∴，，…，，
将上列各等式相加得，
∴…（6分）
当t=1时，a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁=0，
∴a_n=1
综上可知…（8分）
（3）由，
得…（9分）
∵，
又，
∴2ⁿ＞tⁿ，2t＞1，
∴（2t）ⁿ＞1，
∴，
∴…（11分）
∴………
=
=．…（14分）
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．