Question

【题目】△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2acosB=3b﹣2bcosA．

（1）求 的值；
（2）设AB的中垂线交BC于D，若cos∠ADC= ，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2acosB=3b﹣2bcosA，

∴2sinAcosB=3sinB﹣2sinBcosA

∴2sin（A+B）=3sinB，则2sinC=3sinB，

由正弦定理得， = =

（2）解：∵AB的中垂线交BC于D，∴DA=DB，则∠B=∠BAD，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，

∵cos∠ADC= ，∴cos∠ADC=1﹣2sin2B= ，

解得sinB= ，

由B是锐角得，cosB= = ，

∵在△ABC中，b=2，且 = ，∴c=3，

由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，

∴ ，解得a=4或 ，

∵BD= = ＞ ，∴a= 舍去，

∴△ABC的面积S= = =

【解析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，再由正弦定理求出 的值；（2）根据条件和二倍角的余弦公式求出sinB的值，由平方关系求出cosB的值，由余弦定理求出a，由条件进行取舍，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正确解答此题．