Question

（09年雅礼中学月考文）（12分）

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点.

       (I)  求证：EF∥平面SAD;

   (II)  设SD=2CD=2，求二面角A－EF－D的大小.

Answer 1

解析：解一:(Ⅰ)作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连结AG,

，  ???????? ?????????????????????（2分）

又，故,AEFG为平行四边形．??????????????????（4分）

EF∥AG，又AGÌ面SAD,EFË面SAD.所以EF∥面SAD.?????????????（6分） 

(Ⅱ)不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,DADG为等腰直角三角形．

取AG中点H，连结DH，则DH^AG.

又AB^平面SAD，所以AB^DH,而AB∩AG=A,所以DH^面AEF．???????（7分）

取EF中点M，连结MH，则HM^EF. ????????????????????????（8分）

连结DM，则DM^EF.故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角, ????????????????（9分）

tan∠DMH===.?????????（11分）

所以二面角A-EF-D的大小为?????????????????????（12分）

解二：(Ⅰ)如图，建立空间直角坐标系D-xyz．????????????????（1分）

设A(a,0,0),S(0,0,b),则(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),F(0,,),=(-a,0,).

取SD的中点G(0,0,),则=(-a,0,). ?????????????????????（4分）

=,所以EF∥AG，又AGÌ面SAD,EFË面SAD.所以EF∥面SAD??????????（6分）

 (Ⅱ)不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0),C0,1,0),S(0,0,2),E(1,,0),F(0,,1).

EF中点M(,,),???????????????????????（7分）

=(-,-,-)，=(-1,0,1),?=0,MD^EF???????（8分）

又=(0,-,0), ?=0,EA^EF所以向量和的夹角等于二面角A-EF-D的平面角??????????????（9分）

又cos<,>==.???????????????????????（11分）

所以二面角A-EF-D的大小为arccos．??????????????????????????（12分）