Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)记三棱锥P­ABD体积为V₁，四棱锥P­BDEF体积为V₂，且，求此时线段PO的长．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，
∴BD⊥AO.
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO?平面PEF.
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，
∴PO⊥BD.
∵AO∩PO＝O，AO，PO?平面POA.
∴BD⊥平面POA.
(2)设AO∩BD＝H
由(1)知，PO⊥平面ABFED，PO＝CO.
∴PO是三棱锥P­ABD的高及四棱锥P­BDEF的高
∴V₁＝S_△ABD·PO，V₂＝S_梯形BFED·PO
∵∴S_梯形BFED＝S_△ABD＝S_△BCD
∴S_△CEF＝S_△BCD
∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CDB
∴＝
∴CO＝CH＝AH＝×2＝
∴线段PO的长为.