Question

（2013•绵阳二模）设数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若bn=an•2an，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若cn=

2an	(2an)2+3•2an+2

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列，推导出1+5d=2（1+2d），由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）由a_n=n，∴bn=an•2an=n•2ⁿ，知S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）由a_n=n，知cn=

2an

(2an)2+3•2an+2

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

，由此利用裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列，
∴

a12

a6

=

a6

a3

=

a12-a6

a6-a3

=

6d

3d

=2，
∴1+5d=2（1+2d），
解得d=1，
∴a_n=n．…．（4分）
（Ⅱ）∵a_n=n，∴bn=an•2an=n•2ⁿ
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2×(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
=-（2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹），
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…．（13分）
（Ⅲ）∵a_n=n，
∴cn=

2an

(2an)2+3•2an+2

=

2n

(2n)2+3×2n+2

=

2n

(2n+1)(2n+2)

=

2n-1

(2n+1)(2n-1+1)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

，
∴数列{c_n}的前n项和
T_n=（

1

20+1

-

1

21+1

）+（

1

21+1

-

1

22+1

）+…+（

1

2n-1+1

-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

2n+1

．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和错位相减法的合理运用．