Question

如图,已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,并且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证:AD⊥PB;

(2)求二面角A-BC-P的大小;

(3)设E为BC边的中点,F为PC中点,求证:平面DEF⊥平面ABCD.

Answer 1

(1)证明:取AD中点G,连结PG.

∵△PAD为等边三角形,

∴PG⊥AD.

又由已知平面PAD⊥平面ABCD.

∴PG⊥平面ABCD.

连结BG,BG是PB在平面ABCD上的射影.

由于四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,

∴△ABD,△BCD均为等边三角形.

∴BG⊥AD.∴AD⊥PB.

(2)解:∵AD∥BC,∴BG⊥BC,PB⊥BC.

∴∠PBG是二面角ABCP的平面角.

又PG、BG分别是两个边长相等的等边三角形的高.

∴PG=BG.∴∠PBG=45°,

即二面角ABCP的平面角为45°.

(3)证明:∵DE是等边三角形BCD的中线,

∴BC⊥DE.

∵E、F分别是BC、PC中点,∴EF∥BP.

∴BC⊥EF.∴BC⊥平面DEF.

∴平面DEF⊥平面ABCD.