Question

18．在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若向量$\overrightarrow{OM}$=sinθ•$\overrightarrow{OA}$，向量$\overrightarrow{ON}$=cosθ•$\overrightarrow{OB}$，其中，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求sin2θ的值；
（2）记△OMN的面积为S₁，平行四边形OABC的面积为S，试求$\frac{{S}_{1}}{S}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件、向量加法的几何意义及相等向量便可得到$\overrightarrow{ON}=cosθ•\overrightarrow{OC}+\frac{cosθ}{sinθ}•\overrightarrow{OM}$，而根据C，N，M三点共线，便有$cosθ+\frac{cosθ}{sinθ}=1$，这样便可解出$sinθcosθ=\sqrt{2}-1$，从而得出sin2θ=$2\sqrt{2}-2$；
（2）根据条件可得到OM•ON=sinθcosθ•OA•OB，然后根据三角形的面积公式便可得出2S₁=sinθcosθ•S，带入上面求出的sinθcosθ即可得出$\frac{{S}_{1}}{S}$．

解答 解：（1）如图：
$\overrightarrow{ON}=cosθ•\overrightarrow{OB}$=$cosθ•（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}）$=$cosθ•\overrightarrow{OC}+\frac{cosθ}{sinθ}•sinθ•\overrightarrow{OA}$=$cosθ•\overrightarrow{OC}+\frac{cosθ}{sinθ}•\overrightarrow{OM}$；
∵C，N，M三点共线；
∴$cosθ+\frac{cosθ}{sinθ}=1$；
∴sinθcosθ=sinθ-cosθ；
∴（sinθcosθ）²+2sinθcosθ-1=0；
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴$sinθcosθ=\frac{-2+\sqrt{8}}{2}=-1+\sqrt{2}$；
∴$sin2θ=2\sqrt{2}-2$；
（2）∵$\overrightarrow{OM}=sinθ•\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{ON}=cosθ•\overrightarrow{OB}$，sinθ＞0，cosθ＞0；
∴OM=sinθ•OA，ON=cosθ•OB；
∴OM•ON=sinθcosθ•OA•OB；
∴OM•ONsin∠MON=sinθcosθ•OA•OB•sin∠MON；
∴2S₁=sinθcosθ•S；
∴$\frac{{S}_{1}}{S}=\frac{sinθcosθ}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 考查向量加法的几何意义，向量的数乘运算，相等向量的概念，以及三点A，B，C共线时$\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$，则有λ+μ=1，向量数乘的几何意义，三角形的面积公式，二倍角的正弦公式．