Question

【题目】已知函数（其中为常数且）

（1）若函数为减函数，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函数为减函数，等价于，即对恒成立，求出的最小值即可得结果；（2）设，则原命题等价于函数有两个不同的零点，分类讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理，可筛选出符合题意的实数的取值范围.

（1）

若函数为减函数，则，即对恒成立.

设 在区间上递减递增

即故实数的取值范围是

（2）易知函数的定义域为

设，则原命题等价于函数有两个不同的零点，求实数的取值范围，

当时，函数在区间上递减上递增，若函数有两个不同的零点则必有即此时，在上有

在上，

在区间上各有一个零点，故合题意；

当时，函数在区间递减，函数至多一个零点，不合题意；

当时，函数在区间递减、递增、递减，

函数的极小值为函数至多一个零点，不合题意；

当时，函数在区间递减、递增、递减，

函数的极小值为 ，

函数至多一个零点，不合题意.

综上所述，实数的取值范围是.