Question

设函数f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞1)．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）当x∈[0，1）时，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义进行判断；
（Ⅱ）利用对数函数的单调性求f（x）的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）要使函数有意义，则

1+x

1-x

＞0，即（1+x）（1-x）＞0，解得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），关于原点对称，
∵f(-x)=log?a

1-x

1+x

=log?a(

1+x

1-x

)-1=-log?a

1+x

1-x

，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）的是奇函数．
（Ⅱ）设u=

1+x

1-x

，则u=

1+x

1-x

=-

x+1

x-1

=-

x-1+2

x-1

=-1-

2

x-1

，
当0≤x＜1时，函数u为增函数，
∵a＞1，
∴y=log_au为增函数，
∴根据复合函数的单调性可知，当0≤x＜1时，函数f（x）为增函数，
∴f（x）≥f（0）=log_a1=0，要使当x∈[0，1）时，f（x）≥m恒成立，
则m≤0．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数函数的性质，利用复合函数的单调性是解决函数最值的关键．