Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF,∠BCF=∠CEF=

90°,AD=,EF=2,

（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°?

Answer 1

方法一：

（Ⅰ）证明：过点E做EG⊥CF交CF于G，连接DG，

可得四边形BCGE为矩形，

又ABCD为矩形，

所以AD∥EG且AD=EG，从而四边形ADGE为平行四边形，

故AE∥DG。

因为AE平面DCF，DG平面DCF，

所以AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：过点B做BH⊥EF交FE的延长线与H，连接AH。

         由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得

         AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，

         所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角。

         在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，所以∠CFE=60º，FG=1.

         又因为CE⊥EF，所以CF=4，

         从而BE=CG=3，

         于是BH=BE?sin∠BEH=。

        因为AB=BH?tan∠AHB，

         所以当AB为时，二面角A-EF-C的大小为60º。

方法二：

         如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别作为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系。

         设AB=，BE=，CF=，

         则，，，，

（Ⅰ）证明：，，，

         所以，，从而CB⊥AE，CB⊥BE，

         所以CB⊥平面ABE。

         因为CB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF，

         故AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：因为，，

         所以，，

从而，解得，，

所以，。

设与平面AEF垂直，

则，

解得

又因为BA⊥平面BEFC，

所以，

得。

所以当AB为时，二面角A-EF-C的大小为60º。