题目内容

已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的一点p在第一象限，且满足PF1⊥PF2，⊙O的方程为x2+y2=4．求点p坐标，并判断直线pF2与⊙O的位置关系；
（3）设点A为椭圆的左顶点，是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可求得焦点坐标，根据椭圆的定义和点（，）求得2a，进而根据a和c求得b，则椭圆的方程可得．
（2）设点P的坐标为（x，y），根据PF1⊥PF2，可得=0，把x和y代入整理可得方程与椭圆方程联立求得x和y，即点P的坐标．进而可得直线PF2的方程，进而可求得⊙O圆心O到直线PF2的距离正好等于半径，进而推断直线PF2与⊙O相切．
（3）设点M的坐标为（x，y），假设存在点B（m，n），对于⊙O上任意一点M，都有为常数，则可表示出|MB|2和|MA|2，代入中，进而可得求得m，n和λ，求得点B的坐标．
解答：解：（1）设椭圆的方程为，（a＞b＞0），由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F1（，0），F2（，0）
由点（，）在该椭圆上，
∴2a=+=6．
∴a=3
又c=得b2=9-5=4，
故椭圆的方程为=1．
（2）设点P的坐标为（x，y）（x＞0，y＞0），则为．①
由PF1⊥PF2，得=0∴（x+）（x-）+y2=0
即x2+y2=5②
由①②联立结合x＞0，y＞0解得：x=，y=，即点P的坐标为（，）
∴直线PF2的方程为2x+y-2=0
∵圆x2+y2=4的圆心O到直线PF2的距离d==2
∴直线PF2与⊙O相切
（3）设点M的坐标为（x，y），则x2+y2=4
假设存在点B（m，n），对于⊙O上任意一点M，都有为常数，则
|MB|2=（x-m）2+（y-n）2，|MA|2=（x+3）2+y2
∴（常数）恒成立
可得（6λ+2m）x+2ny+13λ-m2-n2-4=0
∴
∴或（不合舍去）
∴存在满足条件的点B，它的坐标为（-，0）．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆与圆的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
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已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为
1
2
，且点（1，
3
2
）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为
6
2
7
，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．
已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2
5
，点(
5
，
4
3
)在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的一点p在第一象限，且满足PF1⊥PF2，⊙O的方程为x2+y2=4．求点p坐标，并判断直线pF2与⊙O的位置关系；
（3）设点A为椭圆的左顶点，是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有
MB
MA
为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．
（2013•泉州模拟）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，上焦点为F（0，1），离心率e=
12
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；    
（Ⅱ）设A（m，0）（m＞0）为x轴上的动点，过点A作直线l与直线AF垂直，试探究直线l与椭圆C的位置关系．

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，

点（1，）在该椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若AB的面积为，求以 为圆心且与直线相切圆的方程．

 

（本小题满分13分）

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在轴上，离心率为，且点在该椭圆上。

（I）求椭圆C的方程；

（II）过椭圆C的左焦点的直线与椭圆C相交于A，B两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线相切的圆的方程。

 

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