Question

（2013•泉州模拟）已知椭圆C的对称中心为坐标原点，上焦点为F（0，1），离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；    
（Ⅱ）设A（m，0）（m＞0）为x轴上的动点，过点A作直线l与直线AF垂直，试探究直线l与椭圆C的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知c，由离心率求出a，结合b²=a²-c²可求b，则椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）由题意知直线AF的斜率存在且求得其斜率，求出直线l的斜率，写出直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，写出判别式后由m的范围得到判别式的符号，从而直线和椭圆的位置关系．

解答：解：（Ⅰ）由条件可知c=1，∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2，
则b²=a²-c²=4-1=3，所以b=

3

，
所以椭圆C的标准方程为

x2

3

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）∵k_AF=-

1

m

，∴直线l的斜率k₁=m，
则直线l：y=m（x-m）．
联立y=m（x-m）与

x2

3

+

y2

4

=1，
有（4+3m²）x²-6m³x+3m⁴-12=0，
则△=36m⁶-4（4+3m²）•（3m⁴-12）=-48（m⁴-3m²-4）
=-48（m²+1）（m²-4）=-48（m²+1）（m-2）（m+2），
∵m＞0，∴m²+1＞0，m+2＞0，
则当0＜m＜2时，△＞0，此时直线l与椭圆C相交；   
当m=2时，△=0，此时直线l与椭圆C相切；  
当m＞2时，△＜0，此时直线l与椭圆C相离．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．