Question

设(2

x

-

3

x

)n展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求x²项的系数．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项求出第r+1项，求出第2项的系数与第4项的系数列出方程求得n，再令x的指数为2得系数．

解答：解：第r+1项
Tr+1=

C

r n

•(2

x

)n-r•(

-3

x

)r=

C

r n

•2n-r•(-3)rx

n

2

-

3r

2

，
∴

C 1 n •2n-1•(-3)

C 3 n •2n-3•(-3)3

=

4

45

，
即

4•6n

9•n(n-1)(n-2)

=

4

45

，
∴n²-3n-28=0，
∴n=7或n=-4（舍负）．
令

n

2

-

3r

2

=2，即

7

2

-2=

3r

2

，
∴r=1．
∴x²项的系数C₇¹•2^7-1•（-3）=-1344．

点评：本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．