题目内容
10．设函数f（x）=ax+$\frac{1-x}{ax}$（a＞0）．求：利用函数单调性的定义，判断函数f（x）在 （0，+∞）上的单调性．
分析 先化简f（x）=ax+$\frac{1}{ax}$$-\frac{1}{a}$，根据单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性：设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，提取公因式x1-x2，从而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}）$，这样便可看出${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{1}{a}）$，和${x}_{1}，{x}_{2}∈（\frac{1}{a}，+∞）$时，可以判断f（x1）与f（x2）的关系，从而判断出f（x）在（0，+∞）上的单调性．
解答 解：$f（x）=ax+\frac{1}{ax}-\frac{1}{a}$，设x1＞x2＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=a{x}_{1}+\frac{1}{a{x}_{1}}-a{x}_{2}-\frac{1}{a{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x1＞x2＞0，a＞0；
∴x1-x2＞0；
∴①${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{1}{a}）$时，$a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上单调递减；
②${x}_{1}，{x}_{2}∈（\frac{1}{a}，+∞）$时，$a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在[$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增．
点评 考查函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2）的大小，作差之后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1-x2．
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某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要支付设备的维修和工人工资等费用an的信息如图．| A． | f （2014）＞f （2015）＞f （2016） | B． | f （2016）＞f （2014）＞f （2015） | ||
| C． | f （2016）=f （2014）＞f （2015） | D． | f （2014）＞f （2015）=f （2016） |
| A． | 充分而不必要条件 | B． | 必要而不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |